Üçgen ve Kenarları Arasındaki Bağıntılar

Açı-Kenar Bağıntıları

1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.

ABC üçgeninde m(A) > m(B) > m(C)
a > b > c

Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.

ıkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

m(B) = m(C) => |AB| = |AC|

m(A) < m(B) = m(C) ise

|BC| < |AB| = |AC| olur.

Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur.

2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür.ABC üçgeninde

lb – c l <a < (b + c)

Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.

|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.

3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.a. Bir dik üçgende

kenarlar arasında

a² = b² + c² bağıntısı vardır.

b. Dar açılı üçgenb ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür.

m(A) < 90^°Û a² < b² + c³

c. Geniş açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür.

m(A) < 90^°Û a² > b² + c³

4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,

|AH| = ha ; yükseklik

|AN| = nA ; açıortay

|AD| = Va ; kenarortay

h_a< n_A <V_a

5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;

ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır.

m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım.

Bu durumda üçgende

kenarlar : a > b > c

yükseklikler : h_a < h_b < h_c

Açıortaylar : n_A < n_B < n_C

Kenarortaylar : V_a < V_b < V_c

şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.

Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.

6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.

|BD| + |DC| < |AB| + |AC|

ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir.

ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür.

a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|

köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz.

ıç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından

|DA| + |AB| + |BC|

toplamı |DE| + |EF| + |FC|

toplamından daha büyüktür.

7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için;|AP| + |BP| + |CP|

toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz.

Burada ve Çevre değerleri sınır değer değildir.

ÜÇGEN

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

AB] È[AC]È [BC] = ABC dir.

Burada;

A, B, C noktaları üçgenin

köşeleri,

[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin

kenarlarıdır.

BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c

uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır. ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

ÜÇGEN ÇEŞİTLERi

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

a. Çeşitkenar üçgen

Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

b. ikizkenar Üçgen

Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir.

c. Eşkenar Üçgen

Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir.

2. Açılarına göre üçgenler

a. Dar açılı üçgen

Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.

b. Dik açılı üçgen

Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir.

Dik üçgen olarak adlandırılır.

c. Geniş açılı üçgen

Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.

Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.

1. Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

h_a ® a kanarına ait yükseklik.

h_c ® c kenarına ait yükseklik

yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.

2. Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.

n_A ® A köşesine ait iç açıortay

n_‘A ® A köşesine ait dış açıortay

3. Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

|AD| = V_a , |BE| = V_b olarak ifade edilir.

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

|BC| = a (hipotenüs)

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir.

[AD // [BC] olduğundan,

iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.

a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.

ıç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir.

a’ + b’ + c’ = 360°

m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

[AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b

m(DAC) = m(A’) = b + c

m(DBE) = m(B’) = a + c

m(ECF) = m(C’) = a + b

Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

m(BDC) = a+b+c

4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:

lABl=lACl Û m(B)=m(C)

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir.

Tepe açısına m(BAC) = a dersek

Taban açıları

5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir.

ABC üçgeninde

|AB| = |BC| = |AC|

m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı)

2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)