Giriş Formu

Reklam: 160x600
Google Reklamları

Sponsor

Reklam ver

Ezber Bozuluyor Matematik 6 Günde Bitiyor. Nasıl mı? Tıklayın!

Eğitim Geçmişinizde Boşluk Kalmasın, İstediğiniz Okul Hayal Olmasın!

Google Reklamlari

Matris ve Determinant
---

 

http://resimalani.com//oku.png      http://resimalani.com/izle.png     

http://resimalani.com/coz.png

 

 
Matris ve Determinant (Mat-2)  

   
 
 Bu konunun videolu konu anlatımları için tıklayınız

 

Matrisler   
Determinant 

MATRİS ve DETERMİNANT

 

A. MATRİSİN TANIMI

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir
matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

     

 

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

     

 

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.

Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

 

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

 

2. Kare Matrisi

     

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

 

3. Birim Matris

     

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

 

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

 

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

     

 

 

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

     

 

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

     

 

 

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

     

 

Özellik

 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)

 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)

 4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)

 5. (A + B)T = AT + BT

 6. (A – B)T = AT – BT

 7. k × (A + B) = k × A + k × B

 8. k × (A – B) = k × A – k × B

 9. (k + p) × A = k × A + p × A

 10. k × (p × A) = (k × p) × A

 

 

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

 

Özellik

 1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)

     A × I = I × A

     Am × An = Am + n

     A–1 × A = A × A–1

 2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A × (B + C) = A × B + A × C

     (B + C) × A = B × A + C × A

     Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.

 4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.

 5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)

 6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.

 7. (A × B)T = BT × AT

     (A × B × C)T = CT × BT × AT

 

 

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

     

Ayrıca,

     

olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

     

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.

Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:

 

 

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

 

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

 

 

1. Sarrus Kuralı

A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

     

 

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,

   

 

10. A matrisinin determinantı: detA = T1T2 dir.

 

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.

aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

     

Kural

matrisi verilsin.

Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

i. satıra göre determinant:

     

 

j. sütuna göre determinant:

     

 

 

3. Determinantın Özellikleri

Özellik

Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

      det(A × B) = detA × detB

Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

      detAn = (detA)n

Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

     

 

A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

     

 

Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

 

 

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

     

 

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

 

     

Kural

 

Özellik

 


 

 

Yorumlar 

 
0 #20 fdsaf 20-03-2014 05:06
teşekkürlerrrr
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
+10 #19 ilknur888 15-06-2013 16:06
anladıysam arap olayım yarın sınavım var. teeey tey... hadi hayırlısı başarılar sayısalcılara...insan bi örnek verirdi demi anlardık :D formülü ne yapalım sadece biz.
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
-2 #18 fırat hakverdi 25-05-2013 06:39
yemin ederim helal olsun çok iyi site yapmışsınız
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
+22 #17 Esmerkız 02-05-2013 11:00
Çok sade anlatılmış ornekler verılebilirdi :o
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
-6 #16 Malik 17-04-2013 19:59
Lineer Denklem Sistemleri ile ilgili bilgi yok mu?
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
0 #15 AYKUT KÖSE 13-03-2013 16:21
SAĞOLUN BU SİTE KİMİNSE ÖRNEK OLSAYDI DAHA GÜZEL OLURDU BY
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
+8 #14 sessiz ol 05-03-2013 13:44
Şimdi böyle yorumlar oldu mu sinirim boşalıyo anlamıyorum.Bu ünlü harflerle derdiniz ne sizin niye bu ünlü harf düşmanlığınız merak ediyorum
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
-32 #13 Nida Ozge 26-02-2013 09:51
Mrb arkdslar bna bu knu lzım burdn brz bseler anladm ama örnk yk mu yaf örnk olmynca anlasılmyo da. :-?
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
+14 #12 Zeliha Soydan 26-02-2013 09:50
merhaba Pek bir şey anlaşılmıyor örnek olsa daha güzel olurdu çünkü bu konu bana lazım ve pek iyi olduğu mu da söyleyemem :oops: biraz daha ayrıntıya inebilir misiniz hocam (örneklerle birlikte) ? :sigh:
Alıntı | Yöneticiye raporla
 
 
+1 #11 Önder Öner 27-12-2012 09:56
Çok temiz bir temel anlatılmış. Teşekkür ederim....
Alıntı | Yöneticiye raporla
 

Yorum ekle



Matematik





Ziyaretçilerimiz yazdıkları yorumdan sorumludur.
Her hangi açılacak bir davada IP adresi ve diğer bilgiler paylaşılacaktır.


Güvenlik kodu
Yenile

Sonraki >

Matematik | Teog Matematik | YGS Matematik | LYS Matematik | ALES Matematik