Giri┼č Formu

Reklam: 160x600
Google Reklamlar─▒

Sponsor

Reklam ver

Buraya CŘmle Reklam Verebilirsiniz. reklam@matematikvegeometri.com

Google Reklamlari

Trigonometri
---

 

http://resimalani.com//oku.png       http://resimalani.com/izle.png      

http://resimalani.com/coz.png

 

 
Trigonometri-1 (Mat-2)  

TR─▒GONOMETR─▒ 1

 

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI

Ba┼člang─▒ç noktalar─▒ ayn─▒ olan iki ─▒┼č─▒n─▒n birle┼čim kümesine aç─▒ denir. Bu ─▒┼č─▒nlara aç─▒n─▒n kenarlar─▒, ba┼člang─▒ç noktas─▒na ise aç─▒n─▒n kö┼česi denir.

 

B. YÖNLÜ AÇI

Bir aç─▒n─▒n kenarlar─▒ndan birini, ba┼člang─▒ç kenar─▒; di─čerini bitim kenar─▒ olarak ald─▒─č─▒m─▒zda elde edilen aç─▒ya yönlü aç─▒ denir.

Aç─▒lar adland─▒r─▒l─▒rken önce ba┼člang─▒ç, sonra bitim kenar─▒ yaz─▒l─▒r.

 

Kural

Aç─▒n─▒n kö┼česi etraf─▒nda, ba┼člang─▒ç kenar─▒ndan bitim kenar─▒na iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün ayn─▒s─▒d─▒r.

Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, ayn─▒ olan yöne negatif yön denir.

Aç─▒lar─▒n yönü ok yard─▒m─▒yla belirlenir.

 

 

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde ile bu aç─▒n─▒n iç bölgesindeki noktalar─▒n kümesinin O merkezli çemberle kesi┼čimi AB yay─▒d─▒r. AB yay─▒, biçiminde gösterilir.

 

n─▒n yönü olarak, AOB aç─▒s─▒n─▒n yönü al─▒n─▒r. ┼čekildeki AOB aç─▒s─▒n─▒n yönü pozitif oldu─čundan, da pozitif yönlüdür.

Pozitif yönlü AB yay─▒nda A ya yay─▒n ba┼člang─▒ç noktas─▒, B ye yay─▒n bitim noktas─▒ denir.

 

D. B─▒R─▒M ÇEMBER

Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yar─▒çap─▒ 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.

 

Birim çemberin denklemi:

x2 + y2 = 1 dir.

 

 

E. AÇI ÖLÇÜ B─▒R─▒MLER─▒

Bir aç─▒n─▒n ölçüsünün büyüklü─čünü veya küçüklü─čünü tan─▒mlamak için, bir ölçü birimi tan─▒mlanmal─▒d─▒r. Aç─▒y─▒ ölçmek, aç─▒n─▒n kollar─▒ aras─▒ndaki aç─▒kl─▒─č─▒ belirlemek demektir.

Genellikle iki birim kullan─▒l─▒r. Bunlar; derece ve radyand─▒r.

 

1. Derece

Bir tam çember yay─▒n─▒n 360 e┼č parças─▒ndan birini gören merkez aç─▒n─▒n ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.

 

2. Radyan

Yar─▒çap uzunlu─čuna e┼čit uzunluktaki bir yay─▒ gören merkez aç─▒n─▒n ölçüsüne 1 radyan denir.

 

Uyar─▒

Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan oldu─ču için, 360° = 2p radyan d─▒r.

 

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

     

 

 

 

F. ESAS ÖLÇÜ

olmak üzere, birim çember üzerinde a aç─▒s─▒ ile
a + k × 360° aç─▒s─▒ ayn─▒ noktaya kar┼č─▒l─▒k gelmektedir. Buna göre,

olmak üzere, ölçüsü

      a + k × 360°

olan aç─▒n─▒n esas ölçüsü a derecedir.

Aç─▒n─▒n birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Di─čer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aral─▒─č─▒ndad─▒r.

Derece cinsinden verilen pozitif aç─▒larda, aç─▒ 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

Derece cinsinden verilen negatif yönlü aç─▒larda, aç─▒n─▒n mutlak de─čeri 360° ye bölünür; kalan 360° den ç─▒kar─▒larak esas ölçü bulunur.

Radyan cinsinden verilen aç─▒larda aç─▒n─▒n içerisinden 2p nin katlar─▒ at─▒l─▒r. Geriye kalan esas ölçüdür.

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü aç─▒lar─▒n esas ölçüsü bulunurken, verilen aç─▒ pozitif yönlü aç─▒ gibi dü┼čünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan de─čer 2p den ç─▒kar─▒l─▒r.

nin esas ölçüsü a┼ča─č─▒daki yolla da bulunabilir. a say─▒s─▒ b nin 2 kat─▒na bölünür. Kalan p nin kat say─▒s─▒ olarak paya yaz─▒l─▒r payda aynen yaz─▒l─▒r.
a n─▒n b nin 2 kat─▒na bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir.

 

II. TR─▒GONOMETR─▒K FONKS─▒YONLAR

A. KOS─▒NÜS FONKS─▒YONU

Bir x reel say─▒s─▒n─▒ cosx e dönü┼čtüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

     

Birim çember üzerinde P(x, y) noktas─▒ ile e┼členen aç─▒ olmak üzere, P noktas─▒n─▒n apsisine, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

x = cosa d─▒r.

Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aral─▒─č─▒), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ cosa £ 1 dir.

 

 

B. S─▒NÜS FONKS─▒YONU

Bir x reel say─▒s─▒n─▒ sinx e dönü┼čtüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

     

Birim çember üzerinde P(x, y) noktas─▒ ile e┼členen aç─▒ olsun. P noktas─▒n─▒n ordinat─▒na, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

y = sina

Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aral─▒─č─▒), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ sina £ 1 dir.

 

 

Sonuç

┼čekilde,

A(1, 0) oldu─čundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 d─▒r.

B(0, 1) oldu─čundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.

C(–1, 0) oldu─čundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 d─▒r.

D(0, –1) oldu─čundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.

 

Kural

┼čekilde,

x = cosa, y = sina

|OK| = sina ve

|OH| = cosa oldu─čuna göre, OHP dik üçgeninde;

      |OH|2 + |PH|2 = 12

      cos2a + sin2a = 1 dir.

 

 

C. TANJANT FONKS─▒YONU

Birim çember üzerinde P(x, y) noktas─▒ ile e┼členen aç─▒ olsun. [OP n─▒n x = 1 do─črusunu kesti─či T noktas─▒n─▒n ordinat─▒na, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n tanjant─▒ denir ve tana ile gösterilir.

x = 1 do─črusuna tanjant ekseni denir.

 

t = tana d─▒r.

 

D. KOTANJANT FONKS─▒YONU

Birim çember üzerinde P(x, y) noktas─▒ ile e┼členen aç─▒ olsun. [OP n─▒n y = 1 do─črusunu kesti─či K noktas─▒n─▒n apsisine, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n kotanjant─▒ denir ve cota ile gösterilir.

y = 1 do─črusuna kotanjant ekseni denir.

 

c = cota

 

Sonuç

(T.s─▒z: Tan─▒ms─▒z)

 

Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlar─▒n─▒n ─▒┼čaretleri

 

Kural

 

Uyar─▒

cosa n─▒n i┼čaretinin sina n─▒n i┼čaretine bölümü cota n─▒n i┼čaretini; sina n─▒n i┼čaretinin cosa n─▒n i┼čaretine bölümü tana n─▒n i┼čaretini verir.

4 bölgede de tana ile cota n─▒n i┼čareti ayn─▒d─▒r.

 

 

E. KOSEKANT, SEKANT FONKS─▒YONU

Birim çember üzerinde olmak üzere,

P noktas─▒ndaki te─četin y eksenini kesti─či noktan─▒n ordinat─▒na, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n kosekant─▒ denir ve csca ile ya da coseca gösterilir.

P noktas─▒ndaki te─četin x eksenini kesti─či noktan─▒n apsisine, a reel (gerçel) say─▒s─▒n─▒n sekant─▒ denir ve seca ile gösterilir.

 

c = coseca

s = seca

 

 

Kural

 

Sonuç

  cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aral─▒─č─▒ndaki say─▒lara e┼čit olamaz.

  1 + tan2x = sec2x

  1 + cot2x = cosec2x

 

 

F. D─▒K ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TR─▒GONOMETR─▒K ORANLARI

BCA dik üçgeninde, a┼ča─č─▒daki e┼čitlikleri yazabiliriz.

     

Sonuç

Ölçüleri toplam─▒ 90° olan (tümler) iki aç─▒dan birinin sinüsü, di─čerinin kosinüsüne; birinin tanjant─▒, di─čerinin kotanjant─▒na; birinin sekant─▒, di─čerinin kosekant─▒na e┼čittir. Buna göre,

     

Baz─▒ dar aç─▒lar─▒n trigonometrik de─čerleri a┼ča─č─▒da verilmi┼čtir. Bu de─čerlerin çok iyi bilinmesi sorular─▒ daha h─▒zl─▒ çözmenizi sa─člar.

 

Kural

x aç─▒s─▒; dar aç─▒ olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik de─čerin hangi bölgede oldu─ču bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki i┼čareti belirlenir. E┼čitli─čin iki taraf─▒nda fonksiyonlar─▒n ad─▒ ayn─▒ olur.

 

Kural

x aç─▒s─▒; dar aç─▒ olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik de─čerin hangi bölgede oldu─ču bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki i┼čareti belirlenir. E┼čitli─čin iki taraf─▒nda fonksiyonlar─▒n ad─▒ farkl─▒ olur. Bu farkl─▒l─▒k, sinüs için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için kotanjant, kotanjant için de tanjantt─▒r.

 

Kural

 


 

I. PER─▒YOD─▒K FONKS─▒YONLAR

f, A kümesinden B kümesine tan─▒ml─▒ bir fonksiyon olsun.

      f : A ® B

      Her x Î A için f(x + T) = f(x)

olacak ┼čekilde s─▒f─▒rdan farkl─▒ en az bir T reel say─▒s─▒ varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel say─▒s─▒na f nin periyodu denir. Bu e┼čitli─či gerçekleyen birden fazla T reel say─▒s─▒ varsa, bunlar─▒n pozitif olanlar─▒n─▒n en küçü─čüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam say─▒ olmak üzere,

f(x) in periyodu k × T dir.

 

TR─▒GONOMETR─▒K FONKS─▒YONLARIN PER─▒YOTLARI

oldu─ču için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonlar─▒ periyodiktir.

sinx ve cosx fonksiyonlar─▒n─▒n periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlar─▒n─▒n periyodu kp dir.

sinx ve cosx fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyodu p dir.

 

Kural

a, b, c, d birer reel say─▒ ve m pozitif tam say─▒ olmak üzere,

f(x) = a + b × sinm(cx + d)

g(x) = a + b × cosm(cx + d)

fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyotlar─▒ T olsun.

Bu durumda,

     

olur.

 

Kural

a, b, c, d birer reel say─▒ ve m pozitif tam say─▒ olmak üzere,

      f(x) = a + b × tanm(cx + d)

      g(x) = a + b × cotm(cx + d)

fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyotlar─▒ T olsun.

Bu durumda,

     

 

Kural

     

fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyotlar─▒n─▒n en küçük ortak kat─▒na (e.k.o.k. una) e┼čittir.

 

Uyar─▒

Buradaki kesirleri en sade biçimde olmal─▒d─▒r.

 

Uyar─▒

f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlar─▒n─▒n esas periyotlar─▒n─▒n en küçük ortak kat─▒na (e.k.o.k. una) e┼čit olmayabilir.

E─čer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonlar─▒n toplam─▒ biçiminde yazar─▒z. Sonrada toplanan fonksiyonlar─▒n esas periyotlar─▒n─▒n en küçük ortak kat─▒ al─▒n─▒r.

Yukar─▒daki aç─▒klamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.

 

 

II. TR─▒GONOMETR─▒K FONKS─▒YONLARIN GRAF─▒KLER─▒

Trigonometrik fonksiyonlar─▒n grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aral─▒k seçilir.

3. Seçilen aral─▒kta fonksiyonun de─či┼čim tablosu yap─▒l─▒r. Bunun için, fonksiyonun baz─▒ özel reel say─▒larda alaca─č─▒ de─čerlerin tablosu yap─▒l─▒r. Tabloda fonksiyonun ald─▒─č─▒ de─čer bir sonraki ald─▒─č─▒ de─čerden küçük ise (ald─▒─č─▒ de─čer artm─▒┼č ise) o aral─▒─ča sembolünü yazar─▒z. E─čer, fonksiyonun ald─▒─č─▒ de─čer bir sonraki ald─▒─č─▒ de─čerden büyük ise (ald─▒─č─▒ de─čer azalm─▒┼č ise) o aral─▒─ča sembolünü yazar─▒z.

4. Seçilen bir periyotluk aral─▒kta fonksiyonun grafi─či çizilir. Olu┼čan grafik, fonksiyonun periyodu aral─▒─č─▒nda tekrarlanaca─č─▒ unutulmamal─▒d─▒r.

 

A. S─▒NÜS FONKS─▒YONUNUN GRAF─▒─č─▒

     

fonksiyonunun grafi─či a┼ča─č─▒da çizilmi┼čtir.

 

B. KOS─▒NÜS FONKS─▒YONUNUN GRAF─▒─č─▒

     

fonksiyonunun grafi─či a┼ča─č─▒da çizilmi┼čtir.

 

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve

 örtendir.

fonksiyonu bire bir ve

      örtendir.

 

 

C. TANJANT FONKS─▒YONUNUN GRAF─▒─č─▒

     

fonksiyonunun grafi─či kesiksiz olarak çizilmi┼čtir.

 

D. KOTANJANT FONKS─▒YONUNUN GRAF─▒─č─▒

     

fonksiyonunun grafi─či kesiksiz olarak çizilmi┼čtir.

 

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve

 

      örtendir.

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

 

 

III. TERS TR─▒GONOMETR─▒K FONKS─▒YONLAR

A. ARKS─▒NÜS FONKS─▒YONU

f(x) = sinx fonksiyonunun tan─▒m aral─▒─č─▒ al─▒n─▒rsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

     

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = sin–1x veya f–1(x) = arcsinx

┼čeklinde gösterilir ve

 

B. ARKKOS─▒NÜS FONKS─▒YONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tan─▒m aral─▒─č─▒

[0, p] al─▒n─▒rsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

      f : [0, p] ® [–1, 1]

      f(x) = cosx

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx

┼čeklinde gösterilir ve

arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.

 

C. ARKTANJANT FONKS─▒YONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tan─▒m aral─▒─č─▒

al─▒n─▒rsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

 

Bu durumda,

     

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = tan–1x veya f–1(x) = arctanx

┼čeklinde gösterilir ve

 

D. ARKKOTANJANT FONKS─▒YONU

     

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

     

fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,

     

┼čeklinde gösterilir.

 

Sonuç

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine e┼čittir.

sin(arcsinx) = x tir.

cos(arccosx) = x tir.

tan(arctanx) = x tir.

cot(arccotx) = x tir.

 

Sonuç

q = arcsinx ise, x = sinq d─▒r.

q = arccosx ise, x = cosq d─▒r.

q = arctanx ise, x = tanq d─▒r.

q = arccotx ise, x = cotq d─▒r.

 

 

IV. ÜÇGENDE TR─▒GONOMETR─▒K BA─čINTILAR

A. S─▒NÜS TEOREM─▒

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar─▒ a, b, c; çevrel çemberinin yar─▒çap─▒ R birim olmak üzere,

 

B. KOS─▒NÜS TEOREM─▒

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar─▒; a, b, c olmak üzere,

     

a2 = b2 + c2 – 2 × b × c × cosA d─▒r.

b2 = a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir.

c2 = a2 + b2 – 2 × a × b × cosC dir.

 

C. ÜÇGEN─▒N ALANI

Sonuç

Bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar─▒; a, b, c olmak üzere,

 

 

 

I. ─▒K─▒ YAY TOPLAMININ veya FARKININ TR─▒GONOMETR─▒K ORANLARI

 

Kural

 

Uyar─▒

 

Kural

olmak üzere, a × sinx + b × cosx in alabilece─či;

en büyük de─čer

en küçük de─čer dir.

 

 

II. YARIM AÇI FORMÜLLER─▒

Kural

 

 

III. DÖNÜ┼čÜM ve TERS DÖNÜ┼čÜM FORMÜLLER─▒

A. DÖNÜ┼čÜM FORMÜLLER─▒

Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarp─▒m biçimine getirmeye yarayan trigonometrik e┼čitliklere dönü┼čüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

 

Uyar─▒

 

 

B. TERS DÖNÜ┼čÜM FORMÜLLER─▒

Çarp─▒m durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik e┼čitliklere ters dönü┼čüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

 

TR─▒GONOMETR─▒ 4

 

TR─▒GONOMETR─▒K DENKLEMLER

─▒çinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonlar─▒ bulunan, bilinmeyenin baz─▒ de─čerleri için do─čru olan e┼čitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sa─člayan de─čerlere, denklemin kökleri; köklerin olu┼čturdu─ču kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yap─▒lan i┼člemlere de denklemi çözme denir.

 

A. cosx = a DENKLEM─▒N─▒N ÇÖZÜMÜ

Kosinüsü a olan reel say─▒lar─▒n, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktalar─▒ olsun.

olmak üzere,

C noktas─▒na a + k × 2p ve

D noktas─▒na –a + k × 2p reel say─▒s─▒ kar┼č─▒l─▒k gelir.

Bu durumda, cosx = a n─▒n çözüm kümesi,

     

olur.

 

Sonuç

cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:

     

dir.

 

B. sinx = a DENKLEM─▒N─▒N ÇÖZÜMÜ

Sinüsü a olan reel say─▒lar─▒n, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktalar─▒ olsun.

olmak üzere,

C noktas─▒na a + k × 2p ve

D noktas─▒na p – a + k × 2p reel say─▒s─▒ kar┼č─▒l─▒k gelir.

Bu durumda,

sinx = a n─▒n çözüm kümesi,

     

olur.

 

C. tanx = a DENKLEM─▒N─▒N ÇÖZÜMÜ

Tanjant─▒ a olan reel say─▒lar─▒n, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktalar─▒ olsun.

olmak üzere,

C noktas─▒na a + k × 2p ve

E noktas─▒na

p + a + k × 2p reel say─▒s─▒ kar┼č─▒l─▒k gelir.

Her iki aç─▒n─▒n da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktas─▒d─▒r.

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p oldu─čundan tanx = a n─▒n çözüm kümesi,

     

 

D. cotx = a DENKLEM─▒N─▒N ÇÖZÜMÜ

Kotanjant─▒ a olan reel say─▒lar─▒n, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktalar─▒ olsun.

olmak üzere,

C noktas─▒na,

a + k × 2p ve

E noktas─▒na,

p + a + k × 2p

reel say─▒s─▒ kar┼č─▒l─▒k gelir.

Her iki aç─▒n─▒n da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktas─▒d─▒r.

Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p oldu─čundan cotx = a n─▒n çözüm kümesi,

     

Uyar─▒

Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aral─▒ktaki kökü istendi─činde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, ... , –1, 0, 1, ... tam say─▒lar─▒ yaz─▒larak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aral─▒kta olanlar─▒ al─▒n─▒r.

 

 

 

Yorumlar 

 
+12 #4 Komutan HATTAB 11-01-2014 22:35
Allah raz─▒ olsun proje ├Âdevimi buradan yapt─▒m ├Ârnek sorular─▒da buradan ald─▒m bu paylas─▒mda eme─či ge├žen herkesten llah raz─▒ olsun...
Alřntř | Y÷neticiye raporla
 
 
-7 #3 nurrr 28-04-2013 17:11
:-x :D te┼čekrlr
Alřntř | Y÷neticiye raporla
 
 
-17 #2 elifseymen 27-02-2013 16:05
ya bu yaz─▒lar─▒n sonlar─▒ nerede ?
Alřntř | Y÷neticiye raporla
 
 
-10 #1 hakannnnnnn 08-11-2012 15:38
te┼čekk├╝r ederim g├╝zel payla┼č─▒m┬á┬á
Alřntř | Y÷neticiye raporla
 

Yorum ekle



Matematik





Ziyaret├žilerimiz yazd─▒klar─▒ yorumdan sorumludur.
Her hangi a├ž─▒lacak bir davada IP adresi ve di─čer bilgiler payla┼č─▒lacakt─▒r.


GŘvenlik kodu
Yenile

< Ínceki   Sonraki >

Matematik | Teog Matematik | YGS Matematik | LYS Matematik | ALES Matematik