A. TANIM
A bir küme ve B bir küme olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
“x∈ A ve y ∈ B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A – B ya da x : f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
|
* |
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. |
| * | Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
| * | s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir. |
| * | Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A , B küme olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
- (f + g) : A – B
, (f + g)(x) = f(x) + g(x) - (f – g) : A – B , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g) : A – B , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- “x ∈A , B için, g(x) olmak üzere,
- c ∈ olmak üzere,(c × f) : A , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
“x1, x2 ∈A için, x1 = x2 iken f(x1) = f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
“x1, x2∈A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
|
Ü |
s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,
|
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
| * |
| f : A – B
f(A) = B ise, f örtendir. |
| * |
| s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir. |
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
| * |
| ıçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. |
| * |
| s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. |
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
| * |
| Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. |
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
| * |
| “x ∈A ve c ∈B için,
f : A – B f(x) = c ise, f sabit fonksiyondur. |
| Ü |
| s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
|
* |
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. |
| * | Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYON
f : A – B
g : A – B
Her x ∈A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A – A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f : A – B, f = {(x, y)|x ∈A, y ∈B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B – A, f–1 = {(y, x)|(x, y) ∈ f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
|
|
(x, y) ∈f ise, (y, x) ∈f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir. Ayrıca, (f–1)–1 = f dir. |
| (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir. |
| f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir. |
| f : A – B ise, f–1 : B – A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir. |
| f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir. |
 |
| Ü |
| y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.  |
| Ü |
 olmak üzere,
|
| Ü |
olmak üzere, |
G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A – B, g : B – C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A – B ve g : B – C olmak üzere, gof : A – C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
| * |
| (gof)(x) = g[f(x)] tir. |
| Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. |
gof dir.| * |
| Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. |
| * |
| I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve f–1of = fof–1 = I dır. |
| * |
| f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve (fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir. |
| Ü |
| (fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir. ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir. |
• f–1 (x) = f(x) tir. • (fof) (x) = x • (fofof) (x) = f(x) • (fofofof) (x) = x … |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A – B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)}
 |
| (a, b) ∈ f
olduğundan f(a) = b dir. Ayrıca, f–1(b) = a dır. |
| Ü |
|
|
Size Yardımcı Oldu Mu?
2 / 0