Fonksiyon

A. TANIM
bir küme ve B bir küme olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

x∈ A ve y ∈ B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A  B ya da x : f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

*

Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı

2× n – nm dir.

* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

, B küme olmak üzere,

 fonksiyonları tanımlansın.

  1. (f + g) : A  B \subseteq \!\, , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  2. (f – g) : A  B \subseteq \!\, , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
  3. (f × g) : A  B \subseteq \!\, , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
  4. x ∈A , B için, g(x)  olmak üzere,
  1. c ∈  olmak üzere,(c × f) : A \subseteq \!\,, (c × f)(x) = c × f(x) tir.

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..

BBuna göre, bire bir fonksiyonda,

x1, x2 ∈A için, x1 = x2 iken f(x1= f(x2) olur.

Diğer bir ifadeyle,

x1, x2∈A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise, f  fonksiyonu bire birdir.

Ü

s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

*
f : A  B

f(A) = B ise, f örtendir.

*
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

*
ıçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
*
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

*
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

*
x ∈A ve c ∈B için,

f : A  B

f(x) = c

ise, f sabit fonksiyondur.

Ü
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

*

Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

       f : A – B

g : A  B

Her x ∈A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON

       f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A  A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

 biçiminde gösterilir.

F. TERS FONKSİYON

f : A  B, f = {(x, y)|x ∈A, y ∈B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f–1 : B  A, f–1 = {(y, x)|(x, y) ∈ f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) ∈f ise, (y, x) ∈f–1 olduğu için,

y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.

Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.

(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.
f : A  B ise, f–1 : B  A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.
f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.

f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

Ü
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
Ü
 olmak üzere,

Ü
 olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

f : A  B, g : B  C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,

f : A  B ve g : B – C olmak üzere, gof : A  C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

*
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

Bu durumda, fog \ne \!\, gof dir.

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

*
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

*
I birim fonksiyon olmak üzere,

foI = Iof = f ve

f–1of = fof–1 = I dır.

*
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,

(fog)–1 = g–1of–1 ve

(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.

Ü
(fog)(x) = h(x)

ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.

ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.

•  f–1 (x) = f(x) tir.

•  (fof) (x) = x

•  (fofof) (x) = f(x)

•  (fofofof) (x) = x

H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A  B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)}

(a, b) ∈ f

olduğundan

f(a) = b dir.

Ayrıca, f–1(b) = a dır.

Ü

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,

f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,

f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

Was this helpful?

0 / 0

Bir cevap yazın 0

Eposta adresiniz başkalarıyla paylaşılmaz. Gerekli alanlar * işaretli


This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.